Умножение одной матрицы на другую. Математика для чайников

Итак, в предыдущем уроке мы разобрали правила сложения и вычитания матриц. Это настолько простые операции, что большинство студентов понимают их буквально с ходу.

Однако вы рано радуетесь. Халява закончилась — переходим к умножению. Сразу предупрежу: умножить две матрицы — это вовсе не перемножить числа, стоящие в клеточках с одинаковыми координатами, как бы вы могли подумать. Тут всё намного веселее. И начать придётся с предварительных определений.

Согласованные матрицы

Одна из важнейших характеристик матрицы — это её размер. Мы уже сто раз говорили об этом: запись $A=\left[ m\times n \right]$ означает, что в матрице ровно $m$ строк и $n$ столбцов. Как не путать строки со столбцами, мы тоже уже обсуждали. Сейчас важно другое.

Определение. Матрицы вида $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, в которых количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй, называются согласованными.

Ещё раз: количество столбцов в первой матрице равно количеству строк во второй! Отсюда получаем сразу два вывода:

1. Нам важен порядок матриц. Например, матрицы $A=\left[ 3\times 2 \right]$ и $B=\left[ 2\times 5 \right]$ являются согласованными (2 столбца в первой матрице и 2 строки во второй), а вот наоборот — матрицы $B=\left[ 2\times 5 \right]$ и $A=\left[ 3\times 2 \right]$ — уже не согласованы (5 столбцов в первой матрице — это как бы не 3 строки во второй).
2. Согласованность легко проверить, если выписать все размеры друг за другом. На примере из предыдущего пункта: «3 2 2 5» — посередине одинаковые числа, поэтому матрицы согласованы. А вот «2 5 3 2» — не согласованы, поскольку посередине разные числа.

Кроме того, капитан очевидность как бы намекает, что квадратные матрицы одинакового размера $\left[ n\times n \right]$ согласованы всегда.

В математике, когда важен порядок перечисления объектов (например, в рассмотренном выше определении важен порядок матриц), часто говорят об упорядоченных парах. Мы встречались с ними ещё в школе: думаю, и ежу понятно, что координаты $\left(1;0 \right)$ и $\left(0;1 \right)$ задают разные точки на плоскости.

Так вот: координаты — это тоже упорядоченные пары, которые составляются из чисел. Но ничто не мешает составить такую пару из матриц. Тогда можно будет сказать: «Упорядоченная пара матриц $\left(A;B \right)$ является согласованной, если количество столбцов в первой матрице совпадает с количеством строк во второй».

Ну и что с того?

Определение умножения

Рассмотрим две согласованные матрицы: $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$. И определим для них операцию умножения.

Определение. Произведение двух согласованных матриц $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$ — это новая матрица $C=\left[ m\times k \right]$, элементы которой считаются по формуле:

\[\begin{align} & {{c}_{i;j}}={{a}_{i;1}}\cdot {{b}_{1;j}}+{{a}_{i;2}}\cdot {{b}_{2;j}}+\ldots +{{a}_{i;n}}\cdot {{b}_{n;j}}= \\ & =\sum\limits_{t=1}^{n}{{{a}_{i;t}}\cdot {{b}_{t;j}}} \end{align}\]

Обозначается такое произведение стандартно: $C=A\cdot B$.

У тех, кто впервые видит это определение, сразу возникает два вопроса:

1. Что это за лютая дичь?
2. А почему так сложно?

Что ж, обо всём по порядку. Начнём с первого вопроса. Что означают все эти индексы? И как не ошибиться при работе с реальными матрицами?

Прежде всего заметим, что длинная строчка для расчёта ${{c}_{i;j}}$ (специально поставил точку с запятой между индексами, чтобы не запутаться, но вообще их ставить не надо — я сам задолбался набирать формулу в определении) на самом деле сводится к простому правилу:

1. Берём $i$-ю строку в первой матрице;
2. Берём $j$-й столбец во второй матрице;
3. Получаем две последовательности чисел. Перемножаем элементы этих последовательностей с одинаковыми номерами, а затем складываем полученные произведения.

Данный процесс легко понять по картинке:

Ещё раз: фиксируем строку $i$ в первой матрице, столбец $j$ во второй матрице, перемножаем элементы с одинаковыми номерами, а затем полученные произведения складываем — получаем ${{c}_{ij}}$. И так для всех $1\le i\le m$ и $1\le j\le k$. Т.е. всего будет $m\times k$ таких «извращений».

На самом деле мы уже встречались с перемножением матриц в школьной программе, только в сильно урезанном виде. Пусть даны вектора:

\[\begin{align} & \vec{a}=\left({{x}_{a}};{{y}_{a}};{{z}_{a}} \right); \\ & \overrightarrow{b}=\left({{x}_{b}};{{y}_{b}};{{z}_{b}} \right). \\ \end{align}\]

Тогда их скалярным произведением будет именно сумма попарных произведений:

\[\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}={{x}_{a}}\cdot {{x}_{b}}+{{y}_{a}}\cdot {{y}_{b}}+{{z}_{a}}\cdot {{z}_{b}}\]

По сути, в те далёкие годы, когда деревья были зеленее, а небо ярче, мы просто умножали вектор-строку $\overrightarrow{a}$ на вектор-столбец $\overrightarrow{b}$.

Сегодня ничего не поменялось. Просто теперь этих векторов-строк и столбцов стало больше.

Но хватит теории! Давайте посмотрим на реальные примеры. И начнём с самого простого случая — квадратных матриц.

Умножение квадратных матриц

Задача 1. Выполните умножение:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right]\]

Решение. Итак, у нас две матрицы: $A=\left[ 2\times 2 \right]$ и $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Понятно, что они согласованы (квадратные матрицы одинакового размера всегда согласованы). Поэтому выполняем умножение:

\[\begin{align} & \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1\cdot \left(-2 \right)+2\cdot 3 & 1\cdot 4+2\cdot 1 \\ -3\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & -3\cdot 4+4\cdot 1 \\\end{array} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end{array} \right]. \end{align}\]

Вот и всё!

Ответ: $\left[ \begin{array}{*{35}{r}}4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end{array} \right]$.

Задача 2. Выполните умножение:

\[\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}}9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end{array} \right]\]

Решение. Опять согласованные матрицы, поэтому выполняем действия:\[\]

\[\begin{align} & \left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 9 & 6 \\ -3 & -2 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1\cdot 9+3\cdot \left(-3 \right) & 1\cdot 6+3\cdot \left(-2 \right) \\ 2\cdot 9+6\cdot \left(-3 \right) & 2\cdot 6+6\cdot \left(-2 \right) \\\end{array} \right]= \\ & =\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{matrix} \right]. \end{align}\]

Как видим, получилась матрица, заполненная нулями

Ответ: $\left[ \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{matrix} \right]$.

Из приведённых примеров очевидно, что умножение матриц — не такая уж и сложная операция. По крайней мере для квадратных матриц размера 2 на 2.

В процессе вычислений мы составили промежуточную матрицу, где прямо расписали, какие числа входят в ту или иную ячейку. Именно так и следует делать при решении настоящих задач.

Основные свойства матричного произведения

В двух словах. Умножение матриц:

1. Некоммутативно: $A\cdot B\ne B\cdot A$ в общем случае. Бывают, конечно, особые матрицы, для которых равенство $A\cdot B=B\cdot A$ (например, если $B=E$ — единичной матрице), но в абсолютном большинстве случаев это не работает;
2. Ассоциативно: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$. Тут без вариантов: стоящие рядом матрицы можно перемножать, не переживая за то, что стоит левее и правее этих двух матриц.
3. Дистрибутивно: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$ и $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$ (в силу некоммутативности произведения приходится отдельно прописывать дистрибутивность справа и слева.

А теперь — всё то же самое, но более подробно.

Умножение матриц во многом напоминает классическое умножение чисел. Но есть отличия, важнейшее из которых состоит в том, что умножение матриц, вообще говоря, некоммутативно .

Рассмотрим ещё раз матрицы из задачи 1. Прямое их произведение мы уже знаем:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}4 & 6 \\ 18 & -8 \\\end{array} \right]\]

Но если поменять матрицы местами, то получим совсем другой результат:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 4 \\ 3 & 1 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ -3 & 4 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{matrix} -14 & 4 \\ 0 & 10 \\\end{matrix} \right]\]

Получается, что $A\cdot B\ne B\cdot A$. Кроме того, операция умножения определена только для согласованных матриц $A=\left[ m\times n \right]$ и $B=\left[ n\times k \right]$, но никто не гарантировал, что они останутся согласованными, если их поменять местами. Например, матрицы $\left[ 2\times 3 \right]$ и $\left[ 3\times 5 \right]$ вполне себе согласованы в указанном порядке, но те же матрицы $\left[ 3\times 5 \right]$ и $\left[ 2\times 3 \right]$, записанные в обратном порядке, уже не согласованы. Печаль.:(

Среди квадратных матриц заданного размера $n$ всегда найдутся такие, которые дают одинаковый результат как при перемножении в прямом, так и в обратном порядке. Как описать все подобные матрицы (и сколько их вообще) — тема для отдельного урока. Сегодня не будем об этом.:)

Тем не менее, умножение матриц ассоциативно:

\[\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)\]

Следовательно, когда вам надо перемножить сразу несколько матриц подряд, совсем необязательно делать это напролом: вполне возможно, что некоторые рядом стоящие матрицы при перемножении дают интересный результат. Например, нулевую матрицу, как в Задаче 2, рассмотренной выше.

В реальных задачах чаще всего приходится перемножать квадратные матрицы размера $\left[ n\times n \right]$. Множество всех таких матриц обозначается ${{M}^{n}}$ (т.е. записи $A=\left[ n\times n \right]$ и \ означают одно и то же), и в нём обязательно найдётся матрица $E$, которую называют единичной.

Определение. Единичная матрица размера $n$ — это такая матрица $E$, что для любой квадратной матрицы $A=\left[ n\times n \right]$ выполняется равенство:

Такая матрица всегда выглядит одинаково: на главной диагонали её стоят единицы, а во всех остальных клетках — нули.

\[\begin{align} & A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C; \\ & \left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C. \\ \end{align}\]

Другими словами, если нужно умножить одну матрицу на сумму двух других, то можно умножить её на каждую из этих «двух других», а затем результаты сложить. На практике обычно приходится выполнять обратную операцию: замечаем одинаковую матрицу, выносим её за скобку, выполняем сложение и тем самым упрощаем себе жизнь.:)

Заметьте: для описания дистрибутивности нам пришлось прописать две формулы: где сумма стоит во втором множителе и где сумма стоит в первом. Это происходит как раз из-за того, что умножение матриц некоммутативно (и вообще, в некоммутативной алгебре куча всяких приколов, которые при работе с обычными числами даже не приходят в голову). И если, допустим, вам на экзамене нужно будет расписать это свойство, то обязательно пишите обе формулы, иначе препод может немного разозлиться.

Ладно, всё это были сказки о квадратных матрицах. А что насчёт прямоугольных?

Случай прямоугольных матриц

А ничего — всё то же самое, что и с квадратными.

Задача 3. Выполните умножение:

\[\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \\\end{matrix} & \begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 1 \\\end{matrix} \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end{array} \right]\]

Решение. Имеем две матрицы: $A=\left[ 3\times 2 \right]$ и $B=\left[ 2\times 2 \right]$. Выпишем числа, обозначающие размеры, в ряд:

Как видим, центральные два числа совпадают. Значит, матрицы согласованы, и их можно перемножить. Причём на выходе мы получим матрицу $C=\left[ 3\times 2 \right]$:

\[\begin{align} & \left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 3 \\\end{matrix} & \begin{matrix} 4 \\ 5 \\ 1 \\\end{matrix} \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} -2 & 5 \\ 3 & 4 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 5\cdot \left(-2 \right)+4\cdot 3 & 5\cdot 5+4\cdot 4 \\ 2\cdot \left(-2 \right)+5\cdot 3 & 2\cdot 5+5\cdot 4 \\ 3\cdot \left(-2 \right)+1\cdot 3 & 3\cdot 5+1\cdot 4 \\\end{array} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & 41 \\ 11 & 30 \\ -3 & 19 \\\end{array} \right]. \end{align}\]

Всё чётко: в итоговой матрице 3 строки и 2 столбца. Вполне себе $=\left[ 3\times 2 \right]$.

Ответ: $\left[ \begin{array}{*{35}{r}} \begin{array}{*{35}{r}} 2 \\ 11 \\ -3 \\\end{array} & \begin{matrix} 41 \\ 30 \\ 19 \\\end{matrix} \\\end{array} \right]$.

Сейчас рассмотрим одно из лучших тренировочных заданий для тех, кто только начинает работать с матрицами. В нём нужно не просто перемножить какие-то две таблички, а сначала определить: допустимо ли такое умножение?

Задача 4. Найдите все возможные попарные произведения матриц:

\\]; $B=\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 4 \\\end{matrix} & \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \\\end{matrix} \\\end{matrix} \right]$; $C=\left[ \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end{matrix} \right]$.

Решение. Для начала запишем размеры матриц:

\;\ B=\left[ 4\times 2 \right];\ C=\left[ 2\times 2 \right]\]

Получаем, что матрицу $A$ можно согласовать лишь с матрицей $B$, поскольку количество столбцов у $A$ равно 4, а такое количество строк только у $B$. Следовательно, можем найти произведение:

\\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ 4 & 0 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}-10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end{array} \right]\]

Промежуточные шаги предлагаю выполнить читателю самостоятельно. Замечу лишь, что размер результирующей матрицы лучше определять заранее, ещё до каких-либо вычислений:

\\cdot \left[ 4\times 2 \right]=\left[ 2\times 2 \right]\]

Другими словами, мы просто убираем «транзитные» коэффициенты, которые обеспечивали согласованность матриц.

Какие ещё возможны варианты? Безусловно, можно найти $B\cdot A$, поскольку $B=\left[ 4\times 2 \right]$, $A=\left[ 2\times 4 \right]$, поэтому упорядоченная пара $\left(B;A \right)$ является согласованной, а размерность произведения будет:

\\cdot \left[ 2\times 4 \right]=\left[ 4\times 4 \right]\]

Короче говоря, на выходе будет матрица $\left[ 4\times 4 \right]$, коэффициенты которой легко считаются:

\\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end{array} \right]\]

Очевидно, можно согласовать ещё $C\cdot A$ и $B\cdot C$ — и всё. Поэтому просто запишем полученные произведения:

Это было легко.:)

Ответ: $AB=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} -10 & 7 \\ 10 & 7 \\\end{array} \right]$; $BA=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & -2 & 4 & -4 \\ 3 & 3 & 6 & 6 \\ 4 & -4 & 8 & -8 \\\end{array} \right]$; $CA=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 1 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & -2 \\\end{array} \right]$; $BC=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}1 & 0 \\ 0 & 2 \\ 3 & 0 \\ 0 & 4 \\\end{array} \right]$.

Вообще, очень рекомендую выполнить это задание самостоятельно. И ещё одно аналогичное задание, которое есть в домашней работе. Эти простые на первый взгляд размышления помогут вам отработать все ключевые этапы умножения матриц.

Но на этом история не заканчивается. Переходим к частным случаям умножения.:)

Вектор-строки и вектор-столбцы

Одной из самых распространённых матричных операций является умножение на матрицу, в которой одна строка или один столбец.

Определение. Вектор-столбец — это матрица размера $\left[ m\times 1 \right]$, т.е. состоящая из нескольких строк и только одного столбца.

Вектор-строка — это матрица размера $\left[ 1\times n \right]$, т.е. состоящая из одной строки и нескольких столбцов.

На самом деле мы уже встречались с этими объектами. Например, обычный трёхмерный вектор из стереометрии $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z \right)$ — это не что иное как вектор-строка. С точки зрения теории разницы между строками и столбцами почти нет. Внимательными надо быть разве что при согласовании с окружающими матрицами-множителями.

Задача 5. Выполните умножение:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 \\ 2 \\ -1 \\\end{array} \right]\]

Решение. Перед нами произведение согласованных матриц: $\left[ 3\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 1 \right]=\left[ 3\times 1 \right]$. Найдём это произведение:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 \\ 2 \\ -1 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 2+3\cdot \left(-1 \right) \\ 4\cdot 1+2\cdot 2+0\cdot 2 \\ -1\cdot 1+1\cdot 2+1\cdot \left(-1 \right) \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} -3 \\ 8 \\ 0 \\\end{array} \right]\]

Ответ: $\left[ \begin{array}{*{35}{r}}-3 \\ 8 \\ 0 \\\end{array} \right]$.

Задача 6. Выполните умножение:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 & -3 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end{array} \right]\]

Решение. Опять всё согласовано: $\left[ 1\times 3 \right]\cdot \left[ 3\times 3 \right]=\left[ 1\times 3 \right]$. Считаем произведение:

\[\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 & -3 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{array}{*{35}{r}} 3 & 1 & -1 \\ 4 & -1 & 3 \\ 2 & 6 & 0 \\\end{array} \right]=\left[ \begin{array}{*{35}{r}}5 & -19 & 5 \\\end{array} \right]\]

Ответ: $\left[ \begin{matrix} 5 & -19 & 5 \\\end{matrix} \right]$.

Как видите, при умножении вектор-строки и вектор-столбца на квадратную матрицу на выходе мы всегда получаем строку или столбец того же размера. Этот факт имеет множество приложений — от решения линейных уравнений до всевозможных преобразований координат (которые в итоге тоже сводятся к системам уравнений, но давайте не будем о грустном).

Думаю, здесь всё было очевидно. Переходим к заключительной части сегодняшнего урока.

Возведение матрицы в степень

Среди всех операций умножения отдельного внимания заслуживает возведение в степень — это когда мы несколько раз умножаем один и тот же объект на самого себя. Матрицы — не исключение, их тоже можно возводить в различные степени.

Такие произведения всегда согласованы:

\\cdot \left[ n\times n \right]=\left[ n\times n \right]\]

И обозначаются точно так же, как и обычные степени:

\[\begin{align} & A\cdot A={{A}^{2}}; \\ & A\cdot A\cdot A={{A}^{3}}; \\ & \underbrace{A\cdot A\cdot \ldots \cdot A}_{n}={{A}^{n}}. \\ \end{align}\]

На первый взгляд, всё просто. Посмотрим, как это выглядит на практике:

Задача 7. Возведите матрицу в указанную степень:

${{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}$

Решение. Ну ОК, давайте возводить. Сначала возведём в квадрат:

\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{2}}=\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1\cdot 1+1\cdot 0 & 1\cdot 1+1\cdot 1 \\ 0\cdot 1+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 1 \\\end{array} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right] \end{align}\]

\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}={{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{array} \right] \end{align}\]

Вот и всё.:)

Ответ: $\left[ \begin{matrix}1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]$.

Задача 8. Возведите матрицу в указанную степень:

\[{{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{10}}\]

Решение. Вот только не надо сейчас плакать по поводу того, что «степень слишком большая», «мир не справедлив» и «преподы совсем берега потеряли». На самом деле всё легко:

\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{10}}={{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\cdot {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\cdot {{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right] \right)\cdot \left(\left[ \begin{matrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right] \right)= \\ & =\left[ \begin{matrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{matrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right] \end{align}\]

Заметьте: во второй строчке мы использовали ассоциативность умножения. Собственно, мы использовали её и в предыдущем задании, но там это было неявно.

Ответ: $\left[ \begin{matrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]$.

Как видите, ничего сложного в возведении матрицы в степень нет. Последний пример можно обобщить:

\[{{\left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\\end{matrix} \right]}^{n}}=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 1 & n \\ 0 & 1 \\\end{array} \right]\]

Этот факт легко доказать через математическую индукцию или прямым перемножением. Однако далеко не всегда при возведении в степень можно выловить подобные закономерности. Поэтому будьте внимательны: зачастую перемножить несколько матриц «напролом» оказывается проще и быстрее, нежели искать какие-то там закономерности.

В общем, не ищите высший смысл там, где его нет. В заключение рассмотрим возведение в степень матрицы большего размера — аж $\left[ 3\times 3 \right]$.

Задача 9. Возведите матрицу в указанную степень:

\[{{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{3}}\]

Решение. Не будем искать закономерности. Работаем «напролом»:

\[{{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{3}}={{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{2}}\cdot \left[ \begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]\]

Для начала возведём эту матрицу в квадрат:

\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{2}}=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end{array} \right] \end{align}\]

Теперь возведём в куб:

\[\begin{align} & {{\left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]}^{3}}=\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\\end{array} \right]\cdot \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end{matrix} \right]= \\ & =\left[ \begin{array}{*{35}{r}} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end{array} \right] \end{align}\]

Вот и всё. Задача решена.

Ответ: $\left[ \begin{matrix} 2 & 3 & 3 \\ 3 & 2 & 3 \\ 3 & 3 & 2 \\\end{matrix} \right]$.

Как видите, объём вычислений стал больше, но смысл от этого нисколько не поменялся.:)

На этом урок можно заканчивать. В следующий раз мы рассмотрим обратную операцию: по имеющемуся произведению будем искать исходные множители.

Как вы уже, наверное, догадались, речь пойдёт об обратной матрице и методах её нахождения.

В этой теме будут рассмотрены такие операции, как сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу, транспонирование матрицы. Все обозначения, которые используются на данной странице, взяты из предыдущей темы .

Сложение и вычитание матриц.

Суммой $A+B$ матриц $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{m\times n}=(c_{ij})$, где $c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.

Аналогичное определение вводят и для разности матриц:

Разностью $A-B$ матриц $A_{m\times n}=(a_{ij})$ и $B_{m\times n}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{m\times n}=(c_{ij})$, где $c_{ij}=a_{ij}-b_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.

Пояснение к записи $i=\overline{1,m}$: показать\скрыть

Запись "$i=\overline{1,m}$" означает, что параметр $i$ изменяется от 1 до m. Например, запись $i=\overline{1,5}$ говорит о том, что параметр $i$ принимает значения 1, 2, 3, 4, 5.

Стоит обратить внимание, что операции сложения и вычитания определены только для матриц одинакового размера. Вообще, сложение и вычитание матриц - операции, ясные интуитивно, ибо означают они, по сути, всего лишь суммирование или вычитание соответствующих элементов.

Пример №1

Заданы три матрицы:

$$ A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)\;\; B=\left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right); \;\; F=\left(\begin{array} {cc} 1 & 0 \\ -5 & 4 \end{array} \right). $$

Можно ли найти матрицу $A+F$? Найти матрицы $C$ и $D$, если $C=A+B$ и $D=A-B$.

Матрица $A$ содержит 2 строки и 3 столбца (иными словами - размер матрицы $A$ равен $2\times 3$), а матрица $F$ содержит 2 строки и 2 столбца. Размеры матрицы $A$ и $F$ не совпадают, поэтому сложить их мы не можем, т.е. операция $A+F$ для данных матриц не определена.

Размеры матриц $A$ и $B$ совпадают, т.е. данные матрицы содержат равное количество строк и столбцов, поэтому к ним применима операция сложения.

$$ C=A+B=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)+ \left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {ccc} -1+10 & -2+(-25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end{array} \right) $$

Найдем матрицу $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end{array} \right)- \left(\begin{array} {ccc} 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end{array} \right)=\\= \left(\begin{array} {ccc} -1-10 & -2-(-25) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end{array} \right) $$

Ответ : $C=\left(\begin{array} {ccc} 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end{array} \right)$, $D=\left(\begin{array} {ccc} -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end{array} \right)$.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы $A_{m\times n}=(a_{ij})$ на число $\alpha$ называется матрица $B_{m\times n}=(b_{ij})$, где $b_{ij}=\alpha\cdot a_{ij}$ для всех $i=\overline{1,m}$ и $j=\overline{1,n}$.

Попросту говоря, умножить матрицу на некое число - означает умножить каждый элемент заданной матрицы на это число.

Пример №2

Задана матрица: $ A=\left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right)$. Найти матрицы $3\cdot A$, $-5\cdot A$ и $-A$.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {ccc} 3\cdot(-1) & 3\cdot(-2) & 3\cdot 7 \\ 3\cdot 4 & 3\cdot 9 & 3\cdot 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end{array} \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {ccc} -5\cdot(-1) & -5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \\ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end{array} \right). $$

Запись $-A$ есть сокращенная запись для $-1\cdot A$. Т.е., чтобы найти $-A$ нужно все элементы матрицы $A$ умножить на (-1). По сути, это означает, что знак всех элементов матрицы $A$ изменится на противоположный:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin{array} {ccc} -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end{array} \right)= \left(\begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end{array} \right) $$

Ответ : $3\cdot A=\left(\begin{array} {ccc} -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end{array} \right);\; -5\cdot A=\left(\begin{array} {ccc} 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end{array} \right);\; -A=\left(\begin{array} {ccc} 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end{array} \right)$.

Произведение двух матриц.

Определение этой операции громоздко и, на первый взгляд, непонятно. Поэтому сначала укажу общее определение, а потом подробно разберем, что оно означает и как с ним работать.

Произведением матрицы $A_{m\times n}=(a_{ij})$ на матрицу $B_{n\times k}=(b_{ij})$ называется матрица $C_{m\times k}=(c_{ij})$, для которой каждый элемент $c_{ij}$ равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы $A$ на элементы j-го столбца матрицы $B$: $$c_{ij}=\sum\limits_{p=1}^{n}a_{ip}b_{pj}, \;\; i=\overline{1,m}, j=\overline{1,n}.$$

Пошагово умножение матриц разберем на примере. Однако сразу стоит обратить внимание, что перемножать можно не все матрицы. Если мы хотим умножить матрицу $A$ на матрицу $B$, то сперва нужно убедиться, что количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$ (такие матрицы часто называют согласованными ). Например, матрицу $A_{5\times 4}$ (матрица содержит 5 строк и 4 столбца), нельзя умножать на матрицу $F_{9\times 8}$ (9 строк и 8 столбцов), так как количество столбцов матрицы $A$ не равно количеству строк матрицы $F$, т.е. $4\neq 9$. А вот умножить матрицу $A_{5\times 4}$ на матрицу $B_{4\times 9}$ можно, так как количество столбцов матрицы $A$ равно количеству строк матрицы $B$. При этом результатом умножения матриц $A_{5\times 4}$ и $B_{4\times 9}$ будет матрица $C_{5\times 9}$, содержащая 5 строк и 9 столбцов:

Пример №3

Заданы матрицы: $ A=\left(\begin{array} {cccc} -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end{array} \right)$ и $ B=\left(\begin{array} {cc} -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end{array} \right)$. Найти матрицу $C=A\cdot B$.

Для начала сразу определим размер матрицы $C$. Так как матрица $A$ имеет размер $3\times 4$, а матрица $B$ имеет размер $4\times 2$, то размер матрицы $C$ таков: $3\times 2$:

Итак, в результате произведения матриц $A$ и $B$ мы должны получить матрицу $C$, состоящую из трёх строк и двух столбцов: $ C=\left(\begin{array} {cc} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ c_{31} & c_{32} \end{array} \right)$. Если обозначения элементов вызывают вопросы, то можно глянуть предыдущую тему: "Матрицы. Виды матриц. Основные термины" , в начале которой поясняется обозначение элементов матрицы. Наша цель: найти значения всех элементов матрицы $C$.

Начнем с элемента $c_{11}$. Чтобы получить элемент $c_{11}$ нужно найти сумму произведений элементов первой строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

Чтобы найти сам элемент $c_{11}$ нужно перемножить элементы первой строки матрицы $A$ на соответствующие элементы первого столбца матрицы $B$, т.е. первый элемент на первый, второй на второй, третий на третий, четвертый на четвертый. Полученные результаты суммируем:

$$ c_{11}=-1\cdot (-9)+2\cdot 6+(-3)\cdot 7 + 0\cdot 12=0. $$

Продолжим решение и найдем $c_{12}$. Для этого придётся перемножить элементы первой строки матрицы $A$ и второго столбца матрицы $B$:

Аналогично предыдущему, имеем:

$$ c_{12}=-1\cdot 3+2\cdot 20+(-3)\cdot 0 + 0\cdot (-4)=37. $$

Все элементы первой строки матрицы $C$ найдены. Переходим ко второй строке, которую начинает элемент $c_{21}$. Чтобы его найти придётся перемножить элементы второй строки матрицы $A$ и первого столбца матрицы $B$:

$$ c_{21}=5\cdot (-9)+4\cdot 6+(-2)\cdot 7 + 1\cdot 12=-23. $$

Следующий элемент $c_{22}$ находим, перемножая элементы второй строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$ c_{22}=5\cdot 3+4\cdot 20+(-2)\cdot 0 + 1\cdot (-4)=91. $$

Чтобы найти $c_{31}$ перемножим элементы третьей строки матрицы $A$ на элементы первого столбца матрицы $B$:

$$ c_{31}=-8\cdot (-9)+11\cdot 6+(-10)\cdot 7 + (-5)\cdot 12=8. $$

И, наконец, для нахождения элемента $c_{32}$ придется перемножить элементы третьей строки матрицы $A$ на соответствующие элементы второго столбца матрицы $B$:

$$ c_{32}=-8\cdot 3+11\cdot 20+(-10)\cdot 0 + (-5)\cdot (-4)=216. $$

Все элементы матрицы $C$ найдены, осталось лишь записать, что $C=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right)$. Или, если уж писать полностью:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin{array} {cccc} -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \end{array} \right)\cdot \left(\begin{array} {cc} -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end{array} \right)=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right). $$

Ответ : $C=\left(\begin{array} {cc} 0 & 37 \\ -23 & 91 \\ 8 & 216 \end{array} \right)$.

Кстати сказать, зачастую нет резона расписывать подробно нахождение каждого элемента матрицы-результата. Для матриц, размер которых невелик, можно поступать и так:

$$ \left(\begin{array} {cc} 6 & 3 \\ -17 & -2 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array} {cc} 4 & 9 \\ -6 & 90 \end{array} \right) =\left(\begin{array} {cc} 6\cdot{4}+3\cdot(-6) & 6\cdot{9}+3\cdot{90} \\ -17\cdot{4}+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot{9}+(-2)\cdot{90} \end{array} \right) =\left(\begin{array} {cc} 6 & 324 \\ -56 & -333 \end{array} \right) $$

Стоит также обратить внимание, что умножение матриц некоммутативно. Это означает, что в общем случае $A\cdot B\neq B\cdot A$. Лишь для некоторых типов матриц, которые именуют перестановочными (или коммутирующими), верно равенство $A\cdot B=B\cdot A$. Именно исходя из некоммутативности умножения, требуется указывать как именно мы домножаем выражение на ту или иную матрицу: справа или слева. Например, фраза "домножим обе части равенства $3E-F=Y$ на матрицу $A$ справа" означает, что требуется получить такое равенство: $(3E-F)\cdot A=Y\cdot A$.

Транспонированной по отношению к матрице $A_{m\times n}=(a_{ij})$ называется матрица $A_{n\times m}^{T}=(a_{ij}^{T})$, для элементов которой $a_{ij}^{T}=a_{ji}$.

Попросту говоря, для того, чтобы получить транспонированную матрицу $A^T$, нужно в исходной матрице $A$ заменить столбцы соответствующими строками по такому принципу: была первая строка - станет первый столбец; была вторая строка - станет второй столбец; была третья строка - станет третий столбец и так далее. Например, найдем транспонированную матрицу к матрице $A_{3\times 5}$:

Соответственно, если исходная матрица имела размер $3\times 5$, то транспонированная матрица имеет размер $5\times 3$.

Некоторые свойства операций над матрицами.

Здесь предполагается, что $\alpha$, $\beta$ - некоторые числа, а $A$, $B$, $C$ - матрицы. Для первых четырех свойств я указал названия, остальные можно назвать по аналогии с первыми четырьмя.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m ×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В .

В общем виде матрицу размером m ×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы . Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами a ij : первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a 23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной , причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной . В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц . Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны a ij = b ij . Так если и , то A=B , если a 11 = b 11 , a 12 = b 12 , a 21 = b 21 и a 22 = b 22 .

Транспонирование . Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A , а переход от A к B транспонированием .

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A , обычно обозначают A T .

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры . Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B , стоящие на тех же местах. Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C , которая определяется по правилу, например,

Примеры. Найти сумму матриц:

Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B )+C =A +(B+C ).

Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

Примеры.

Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы. Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй). Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB , элементы которой составляются следующим образом:

Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е. в матрице C ) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c 13 , нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (a ij) размера m ×n на матрицу B = (b ij) размера n ×p , то получим матрицу C размера m ×p , элементы которой вычисляются следующим образом: элемент c ij получается в результате произведения элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца матрицы B и их сложения.

Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

.

Примеры.

Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙B ≠ B∙A . Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC .

Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A , причём AE=EA=A .

Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

Например , если , то

.

ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

Определителем второго порядка , соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a 11 a 22 – a 12 a 21 .

Определитель обозначается символом .

Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

Примеры. Вычислить определители второго порядка.

Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

Определителем третьего порядка , соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

.

Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a 11 , a 12 , a 13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки "+" и "–" у слагаемых чередуются.

Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

1-й курс, высшая математика, изучаем матрицы и основные действия над ними. Здесь мы систематизируем основные операции, которые можно проводить с матрицами. С чего начать знакомство с матрицами? Конечно, с самого простого - определений, основных понятий и простейших операций. Заверяем, матрицы поймут все, кто уделит им хотя бы немного времени!

Определение матрицы

Матрица – это прямоугольная таблица элементов. Ну а если простым языком – таблица чисел.

Обычно матрицы обозначаются прописными латинскими буквами. Например, матрица A , матрица B и так далее. Матрицы могут быть разного размера: прямоугольные, квадратные, также есть матрицы-строки и матрицы-столбцы, называемые векторами. Размер матрицы определяется количеством строк и столбцов. Например, запишем прямоугольную матрицу размера m на n , где m – количество строк, а n – количество столбцов.

Элементы, для которых i=j (a11, a22, .. ) образуют главную диагональ матрицы, и называются диагональными.

Что можно делать с матрицами? Складывать/вычитать , умножать на число , умножать между собой , транспонировать . Теперь обо всех этих основных операциях над матрицами по порядку.

Операции сложения и вычитания матриц

Сразу предупредим, что можно складывать только матрицы одинакового размера. В результате получится матрица того же размера. Складывать (или вычитать) матрицы просто – достаточно только сложить их соответствующие элементы . Приведем пример. Выполним сложение двух матриц A и В размером два на два.

Вычитание выполняется по аналогии, только с противоположным знаком.

На произвольное число можно умножить любую матрицу. Чтобы сделать это, нужно умножить на это число каждый ее элемент. Например, умножим матрицу A из первого примера на число 5:

Операция умножения матриц

Перемножить между собой удастся не все матрицы. Например, у нас есть две матрицы - A и B. Их можно умножить друг на друга только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. При этом каждый элемент получившейся матрицы, стоящий в i-ой строке и j-м столбце, будет равен сумме произведений соответствующих элементов в i-й строке первого множителя и j-м столбце второго . Чтобы понять этот алгоритм, запишем, как умножаются две квадратные матрицы:

И пример с реальными числами. Умножим матрицы:

Операция транспонирования матрицы

Транспонирование матрицы – это операция, когда соответствующие строки и столбцы меняются местами. Например, транспонируем матрицу A из первого примера:

Определитель матрицы

Определитель, о же детерминант – одно из основных понятий линейной алгебры. Когда-то люди придумали линейные уравнения, а за ними пришлось выдумать и определитель. В итоге, разбираться со всем этим предстоит вам, так что, последний рывок!

Определитель – это численная характеристика квадратной матрицы, которая нужна для решения многих задач.
Чтобы посчитать определитель самой простой квадратной матрицы, нужно вычислить разность произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определитель матрицы первого порядка, то есть состоящей из одного элемента, равен этому элементу.

А если матрица три на три? Тут уже посложнее, но справиться можно.

Для такой матрицы значение определителя равно сумме произведений элементов главной диагонали и произведений элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной главной диагонали, от которой вычитается произведение элементов побочной диагонали и произведение элементов лежащих на треугольниках с гранью параллельной побочной диагонали.

К счастью, вычислять определители матриц больших размеров на практике приходится редко.

Здесь мы рассмотрели основные операции над матрицами. Конечно, в реальной жизни можно ни разу так и не встретить даже намека на матричную систему уравнений или же наоборот - столкнуться с гораздо более сложными случаями, когда придется действительно поломать голову. Именно для таких случаев и существует профессиональный студенческий сервис . Обращайтесь за помощью, получайте качественное и подробное решение, наслаждайтесь успехами в учебе и свободным временем.

Прежде всего, ЧТО должно получиться в результате умножения трёх матриц ? Кошка не родит мышку. Если матричное умножение осуществимо, то в итоге тоже получится матрица. М-да, хорошо мой преподаватель по алгебре не видит, как я объясняю замкнутость алгебраической структуры относительно её элементов =)

Произведение трёх матриц можно вычислить двумя способами:

1) найти , а затем домножить на матрицу «цэ»: ;

2) либо сначала найти , потом выполнить умножение .

Результаты обязательно совпадут, и в теории данное свойство называют ассоциативностью матричного умножения :

Пример 6

Перемножить матрицы двумя способами

Алгоритм решения двухшаговый: находим произведение двух матриц, затем снова находим произведение двух матриц.

1) Используем формулу

Действие первое:

Действие второе:

2) Используем формулу

Действие первое:

Действие второе:

Ответ :

Более привычен и стандартен, конечно же, первый способ решения, там «как бы всё по порядку». Кстати, по поводу порядка. В рассматриваемом задании часто возникает иллюзия, что речь идёт о каких-то перестановках матриц. Их здесь нет. Снова напоминаю, что в общем случае ПЕРЕСТАВЛЯТЬ МАТРИЦЫ НЕЛЬЗЯ . Так, во втором пункте на втором шаге выполняем умножение , но ни в коем случае не . С обычными числами такой бы номер прошёл, а с матрицами – нет.

Свойство ассоциативности умножения справедливо не только для квадратных, но и для произвольных матриц – лишь бы они умножались:

Пример 7

Найти произведение трёх матриц

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения вычисления проведены двумя способами, проанализируйте, какой путь выгоднее и короче.

Свойство ассоциативности матричного умножения имеет место быть и для бОльшего количества множителей.

Теперь самое время вернуться к степеням матриц. Квадрат матрицы рассмотрен в самом начале и на повестке дня вопрос.